Sòlid de Johnson

La girobicúpula quadrada allargada (J37), és un sòlid de Johnson.

Aquest cub compost de 24 cares quadrades no és un sòlid de Johnson perquè no és estrictament convex (té angles diedres iguals a zero.

Aquest exemple a 24 triangles no és un sòlid de Johnson perquè és còncau.

En geometria, un sòlid de Johnson és un políedre estrictament convex tal que totes les seves cares són polígons regulars però que no és ni un sòlid platònic, ni un sòlid arquimedià, ni un prisma ni un antiprisma. No cal que cada cara sigui un polígon idèntic, o que els mateixos polígons es trobin al voltant de cada vèrtex. Un exemple de sòlid de Johnson és la piràmide de base quadrada amb costats triangulars equilàters (J1); té una cara quadrada i quatre cares triangulars.

Com que és un sòlid estrictament convex pel capbaix tres cares s'han de trobar a cada vèrtex i la suma dels seus angles ha de ser menor que 360 graus. Ja que tot polígon regular té angles superiors o iguals a 60 graus (cas del triangle equilàter és 60 graus i tots els altres és més), se'n dedueix que cinc cares el màxim que es poden trobar en un vèrtex qualsevol. La piràmide pentagonal (J₂) és un exemple que té un vèrtex de grau 5.

Encara que no existeixi restricció evident perquè un polígon regular qualsevol pugui ser una cara d'un sòlid de Johnson, es troba que les cares dels sòlids de Johnson tenen sempre 3, 4, 5, 6, 8 o 10 costats. És a dir no hi ha cap sòlid de Jonson que tingui una cara que sigui un polígon ni de 7 ni de 9 ni de més de 10 costats.

El 1966, Norman Johnson va publicar una llista que incloïa els 92 sòlids, i els va donar els seus noms i els seus nombres. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls anota J_xx on xx és el nombre donat per Johnson.

Dels sòlids de Johnson, la girobicúpula quadrada allargada (J₃₇) és l'únic que és de vèrtexs uniformes: incideixen quatre cares a cada vèrtex, i el seu arranjament és sempre el mateix: tres quadrats i un triangle.

Noms

Els noms es llisten davall i són força descriptius. Molts d'aquests sòlids es poden construir afegint piràmides, cúpules i rotondes sobre cares de sòlids platònics, sòlids arquimedians, de prismes o d'antiprismes.

• El prefix Bi- vol dir que s'ajunten base sobre base dues còpies del sòlid en qüestió. Per a les cúpules i les rotondes, es poden ajuntar de forma que les cares es trobin (orto-) o no (giro-). En aquesta nomenclatura, un octàedre s'anomenaria una bipiràmide quadrada, un cuboctaèdre s'anomenaria una girobicúpula hexagonal i un icosidodécaèdre una girobirotonda decagonal.

• Allargat vol dir que s'ha ajuntat un prisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un rombicuboctàedre s'anomenaria una ortobicúpula octogonal allargada.
• Giroallargat significa que s'ha ajuntat un antiprisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un icosàedre s'anomenaria una bipiràmide pentagonal giroallargada.

• Augmentat significa que s'ha ajuntat una piràmide o una cúpula a una cara del sòlid en qüestió.
• Disminuït significa que s'ha tret una piràmide o una cúpula del sòlid en qüestió.

• Gir significa que una cúpula sobre el sòlid en qüestió ha sofert una rotació tal que les diferents arestes coincideixen, com per a la diferència entre orto i giro bicúpules.

Les tres últimes operacions - augment, disminució i gir - es poden executar més d'una vegada sobre un sòlid prou gran. S'afegeix bi- al nom de l'operació per indicar que s'ha executat dues vegades. (Un sòlid bigirat té dues de les seves cúpules que han experimentat una rotació). S'afegeix tri- per indicar que s'ha executat tres vegades. (Un sòlid tridisminuit té tres de les seves piràmides o cúpules eliminades).

A vegades, bi- tot sol no és prou precís. S'ha de distingir entre un sòlid que té dues cares paral·leles alterades i un que té dues cares obliqües alterades. Quan les dues cares alterades són paral·leles, s'afegeix para- al nom de l'operació. (Un sòlid parabiaugmentat té dues cares paral·leles augmentades). Quan no ho són, s'afegeix meta- al nom de l'operació. (Un sòlid metabiaugmentat té dues cares obliqües augmentades).

Llista i noms dels políedres de Johnson

A les taules es fan servir les següents abreviatures:

V : nombre de vèrtexs,
A : nombre d'arestes,
C : nombre total de cares, on:
C₃ triangles,
C₄ quadrats,
C₅ Pentàgons,
C₆ hexàgons,
C₈ octògons,
C₁₀ decàgons.

Prismatoides i rotondes

Els poden classificar en:

• piràmides
• cúpules
• rotondes

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C₃	C₄	C₅	C₆	C₈	C10	Simetria
1	Piràmide quadrada			5	8	5	4	1					C4v
2	Piràmide pentagonal			6	10	6	5		1				C5v
3	Cúpula triangular			9	15	8	4	3		1			C3v
4	Cúpula quadrada			12	20	10	4	5			1		C4v
5	Cúpula pentagonal			15	25	12	5	5	1			1	C5v
6	Rotonda pentagonal			20	35	17	10		6			1	C5v

Piràmides modificades i bipiràmides

Es poden classificar en:

• piràmides allargades
• piràmide giroallargades
• bipiràmides
• bipiràmides allargades
• bipiràmides giroallargades

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C₃	C₄	C₅	C₆	C₈	C10	Simetria
7	Piràmide triangular allargada			7	12	7	4	3					C3v
8	Piràmide quadrada allargada o (cub augmentat) o (prisma quadrat augmentat)			9	16	9	4	5					C4v
9	Piràmide pentagonal allargada			11	20	11	5	5	1				C5v
10	Piràmide quadrada giroallargada			9	20	13	12	1					C4v
11	Piràmide pentagonal giroallargada o (icosàedre disminuït)			11	25	16	15		1				C5v
12	Bipiràmide triangular			5	9	6	6						D3h
13	Bipiràmide pentagonal			7	15	10	10						D5h
14	Bipiràmide triangular allargada			8	15	9	6	3					D3h
15	Bipiràmide quadrada allargada o (biaugmentat cub) o (biaugmentat prisma quadrat)			10	20	12	8	4					D4h
16	Bipiràmide pentagonal allargada			12	25	15	10	5					D5h
17	Bipiràmide quadrada giroallargada			10	24	16	16						D4d

Cúpules i rotondes modificades

Es poden classificar en:

• cúpules allargades
• rotondes allargades
• birotondes allargades
• coupolo-rotondes allargades
• bicúpules allargades
• cúpules giroallargades
• rotondes giroallargades
• bicúpules
• birotondes
• coupulo-rotondes
• bicúpules giroallargades
• birotondes giroallargades
• coupolo-rotondes giroallargades

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C₃	C₄	C₅	C₆	C₈	C10	Simetria
18	Cúpula triangular allargada			15	27	14	4	9		1			C3v
19	Cúpula quadrada allargada (rombicudodecàedre disminuït)			20	36	18	4	13			1		C4v
20	Cúpula pentagonal allargada			25	45	22	5	15	1			1	C5v
21	Rotonda pentagonal allargada			30	55	27	10	10	6			1	C5v
22	Cúpula triangular giroallargada			15	33	20	16	3		1			C3v
23	Cúpula quadrada giroallargada			20	44	26	20	5			1		C4v
24	Cúpula pentagonal giroallargada			25	55	32	25	5	1			1	C5v
25	Rotonda pentagonal giroallargada			30	65	37	30		6			1	C5v
26	Girobiprisma triangular			8	14	8	4	4					D2d
27	Ortobicúpula triangular (cubooctàedre girat)			12	24	14	8	6					D3h
28	Ortobicúpula quadrada			16	32	18	8	10					D4h
29	Girobicúpula quadrada			16	32	18	8	10					D4d
30	Ortobicúpula pentagonal			20	40	22	10	10	2				D5h
31	Girobicúpula pentagonal			20	40	22	10	10	2				D5d
32	Ortocupulorotonda pentagonal			25	50	27	15	5	7				C5v
33	Girocupulorotonda pentagonal			25	50	27	15	5	7				C5v
34	Ortobirotonda pentagonal (icosidodecàedre girat)			30	60	32	20		12				D5h
35	Ortobicúpula triangular allargada			18	36	20	8	12					D3h
36	Girobicúpula triangular allargada			18	36	20	8	12					D3d
37	Girobicúpula quadrada allargada (rombicudodecàedre girat)			24	48	26	8	18					D4d
38	Ortobicúpula pentagonal allargada			30	60	32	10	20	2				D5h
39	Girobicúplula pentagonal allargada			30	60	32	10	20	2				D5d
40	Ortocúpulorotonda pentagonal allargada			35	70	37	15	15	7				C5v
41	Girocúpulorotonda pentagonal allargada			35	70	37	15	15	7				C5v
42	Ortobirotonda pentagonal allargada			40	80	42	20	10	12				D5h
43	Girobirotonda pentagonal allargada			40	80	42	20	10	12				D5d
44	Bicúpula triangular giroallargada (2 formes quirals)			18	42	26	20	6					D₃
45	Bicúpula quadrada giroallargada (2 formes quirals)			24	56	34	24	10					D₄
46	Bicúpula pentagonal giroallargada (2 formes quirals)			30	70	42	30	10	2				D₅
47	Cúpulorotonda pentagonal giroallargada (2 formes quirals)			35	80	47	35	5	7				C₅
48	Birotonda pentagonal giroallargada (2 formes quirals)			40	90	52	40		12				D₅

Prismes augmentats

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C₃	C₄	C₅	C₆	C₈	C10	Symmetry
49	Prisma triangular augmentat			7	13	8	6	2					C2v
50	Prisma triangular biaugmentat			8	17	11	10	1					C2v
51	Prisma triangular triaugmentat			9	21	14	14						D3h
52	Prisma pentagonal augmentat			11	19	10	4	4	2				C2v
53	Prisma pentagonal biaugmantat			12	23	13	8	3	2				C2v
54	Prisma hexagonal augmentat			13	22	11	4	5		2			C2v
55	Prisma hexagonal parabiaugmentat			14	26	14	8	4		2			D2h
56	Prisma hexagonal metabiaugmantat			14	26	14	8	4		2			C2v
57	Prisma hexagonal triaugmentat			15	30	17	12	3		2			D3h

Sòlids platònics modificats

• Dodecàedres augmentats
• Icosàedres disminuïts

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C₃	C₄	C₅	C₆	C₈	C10	Simetria
58	Dodecàedre augmentat			21	35	16	5		11				C5v
59	Dodecàedre parabiaugmentat			22	40	20	10		10				D5d
60	Dodecàedre metabiaugmentat			22	40	20	10		10				C2v
61	Dodecàedre triaugmentat			23	45	24	15		9				C3v
62	Icosàedre metabidismminuït			10	20	12	10		2				C2v
63	Icosàedre tridisminuït			9	15	8	5		3				C3v
64	Icosàedre tridisminuït augmentat			10	18	10	7		3				C3v

Sòlids arquimedians modificats

S'obtenen a partir de:

• Tetràedre truncat (augmentat)
• Cub truncat (augmentat)
• Dodecàedre truncat (augmentat)
• Petit romboicosidodecàedre (girat)
• Petit romboicosidodecàedre (disminuït)
• Petit romboicosidodecàedre (disminuït i girat)

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C₃	C₄	C₅	C₆	C₈	C10	Simetria
65	Tetràedre truncat augmentat			15	27	14	8	3		3			C3v
66	Cub truncat augmentat			28	48	22	12	5			5		C4v
67	Cub truncat biaugmentat			32	60	30	16	10			4		D4h
68	Dodecàedre truncat augmentat			65	105	42	25	5	1			11	C5v
69	Dodecàedre truncat parabiaugmentat			70	120	52	30	10	2			10	D5d
70	Dodecàedre truncat metabiaugmentat			70	120	52	30	10	2			10	C2v
71	Dodecàedre truncat triaugmentat			75	135	62	35	15	3			9	C3v
72	Romboicosidodecàedre girat			60	120	62	20	30	12				C5v
73	Romboicosidodecàedre parabigirat			60	120	62	20	30	12				D5d
74	Romboicosidodecàedre metabigirat			60	120	62	20	30	12				C2v
75	Romboicosidodecàedre Trigirat			60	120	62	20	30	12				C3v
76	Romboicosidodecàedre disminuït			55	105	52	15	25	11			1	C5v
77	Romboicosidodecàedre disminuït paragirat			55	105	52	15	25	11			1	C5v
78	Romboicosidodecàedre disminuït metagirat			55	105	52	15	25	11			1	Cs
79	Romboicosidodecàedre disminuït bigyiat			55	105	52	15	25	11			1	Cs
80	Romboicosidodecàedre parabidisminuït			50	90	42	10	20	10			2	D5d
81	Romboicosidodecàedre metabidisminuït			50	90	42	10	20	10			2	C2v
82	Romboicosidodecàedre bidisminuït girat			50	90	42	10	20	10			2	Cs
83	Romboicosidodecàedre tridisminuït			45	75	32	5	15	9			3	C3v

Diversos

Jn	Nom	Desenvolupament	Imatge	V	A	C	C₃	C₄	C₅	C₆	C₈	C10	Simetria
84	Bisfenoide xato (Dodecàedre siamès)			8	18	12	12						D2d
85	Atiprisma quadrat xato			16	40	26	24	2					D4d
86	Esfenocorona			10	22	14	12	2					C2v
87	Esfenocorona augmentada			11	26	17	16	1					Cs
88	Esfenomegacorona			12	28	18	16	2					C2v
89	Hebesfenomegacorona			14	33	21	18	3					C2v
90	Disfenocíngol			16	38	24	20	4					D2d
91	Birotonda billunar			14	26	14	8	2	4				D2h
92	Hebesfenorotonda triangular			18	36	20	13	3	3	1			C3v

Referències

• Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjectura que no n'hi ha d'altres.
• Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
• Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Enllaços externs

• (anglès) Paper Models of Polyhedra
• (anglès) Sòlids de Johnson per George W. Hart.
• (anglès) Imatges dels 92 sòlids, categoritzats, en una pàgina. Arxivat 2013-06-01 a Wayback Machine.